Гість [Вхід] [Реєстрація]
Студенту Навчальні матеріали Вища математика
Розклад занять
Заміна уроків
Розклад екзаменаційної сесії
Навчальні матеріали
 
Історія туризму
 
Туристичні ресурси (лекції)
 
Географія туризму (лекції)
 
Організація анімаційних послуг в туризмі
 
Українська мова за професійним спрямуванням
 
Українська мова за професійним спрямуванням (практичні)
 
Вища математика
 
історія України
 
Технологія і організація туристичного обслуговування
 
Рекреаційна географія
 
Організація екскурсійного обслуговування
 
Оранізація екскурсійного обслуговування (практичні)
Рейтинг студентів

Конспекти лекцій з вищої математики

Тема 1. Системи лінійних рівнянь, визначники

План

  1. 1.      Основні поняття.
  2. 2.      Визначники другого і третього порядків, їх властивості
  3. 3.      Мінори та алгебраїчні доповнення.
  4. 4.      Обчислення визначників
  5. 5.      Правило Крамера.

1. Основні поняття

Предметом розгляду лінійної алгебри для економістів є насамперед теорія систем лінійних рівнянь, які в загальному вигляді можна подати так:

                                         (1.1)

Система (1.1) називається системою m лінійних рівнянь з невідомими (змінними), де x1, x2, ..., xn— невідомі; aij  — коефіцієнти системи рівнянь; bi  — вільні члени, або праві частини системи рівнянь. Якщо всі bi = 0, то система лінійних рівнянь називається однорідною.

Розв’язком системи рівнянь (1.1) є множина таких чисел k1, k2, ..., kn, у результаті підставляння яких замість відповідних невідомих x1, x2, ..., xn у кожне з рівнянь системи (1.1) останні перетворюються на правильні числові рівності.

Якщо система рівнянь не має жодного розв’язку, вона називається несумісною, а якщо має хоча б один розв’язок — сумісною. Сумісна система рівнянь називається визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок, і невизначеною, якщо розв’язків більш як один.

2. Визначники другого і третього порядків, їх властивості

Розглянемо спочатку системи рівнянь, в яких кількість невідомих і кількість рівнянь рівні між собою, тобто = n. Нехай, наприклад, = 2, тоді маємо систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими:             

Визначником другого порядку називається вираз         .

 

Приклад.

.

Якщо n= m= 3, то маємо систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими:

 

Визначником третього порядку називається вираз:

.         (1.2)

Для запам’ятовування правила обчислення визначника третього порядку пропонуємо таку схему (правило трикутників):

 

Позначимо точками елементи визначника, тоді доданки зі знаком «плюс» — це добутки елементів a11, a22, a33, розміщених на головній діагоналі визначника, і добутки елементів a13, a21, a32і a12, a23, a31, розміщених у вершинах рівнобедрених трикутників, основи яких паралельні головній діагоналі. Зі знаком «мінус» беруться доданки, що є добутками елементів a13, a22, a31, розміщених на сторонній діагоналі визначника, та у вершинах рівнобедрених трикутників, основи яких паралельні сторонній діагоналі визначника — a11, a23, a32 і a12, a21, a33.

Запропонуємо ще одне правило обчислення визначника третього порядку (правило Саррюса).

У початковому визначнику за третім стовпцем запишемо ще раз перший і другий стовпці:

 

Для знаходження визначника за цим правилом треба утворити зі знаком «плюс» алгебраїчну суму добутків елементів, розміщених на головній діагоналі визначника, і на діагоналях, паралельних їй, а зі знаком «мінус» — добутків елементів, розміщених на сторонній діагоналі, та на діагоналях, паралельних їй.

Визначник:    ,

рядки якого є стовпцями попереднього визначника, є транспонованим щодо визначника (1.2).

Властивість 1. Визначник не змінюється в результаті тран­спонування.

З властивості 1 випливає, що будь-яке твердження, котре справджується для рядків визначника, справджується і для його стовпців, і навпаки.

Властивість 2. Якщо один із рядків визначника складається лише з нулів, то такий визначник дорівнює нулю.

Властивість 3. Якщо поміняти місцями будь-які два рядки визначника, то його знак зміниться на протилежний.

Властивість 4. Визначник, який має два однакові рядки, дорівнює нулю.

Властивість 5. Якщо елементи будь-якого рядка визначника помножити на стале число С, то й визначник помножиться на С.

З останньої властивості випливає, що спільний множник елементів рядка можна виносити за знак визначника.

Властивість 6. Визначник, який має два пропорційні рядки, дорівнює нулю.

Властивість 7. Якщо всі елементи будь-якого рядка визначника можна подати у вигляді суми двох доданків, то такий визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких елементами цього рядка будуть відповідно перший доданок у першому визначнику і другий доданок у другому визначнику, а решта елементів будуть ті самі, що й у початковому визначнику.

Властивість 8. Визначник не зміниться, якщо до елементів будь-якого рядка додати відповідні елементи довільного іншого рядка, попередньо помножені не деяке число.

3. Мінори та алгебраїчні доповнення

Нехай визначник має n рядків і n стовпців. Мінором k-го порядку k[1; n–1] називається визначник, утворений з елементів, розміщених на перетині будь-яких k рядків і k стовпців визначника. Зрозуміло, що мінор першого порядку — це будь-який елемент визначника.

Приклад. Утворити кілька мінорів другого і один мінор третього порядку такого визначника:

.

, , , ... ,  .

Мінори , ,  другого порядку утворюються з елементів, розміщених на перетині першого, другого рядків; першого, другого стовпців; третього, четвертого рядків; першого, третього стовпців; другого, четвертого рядків; третього, четвертого стовпців. Мінор  третього порядку утворюється з елементів, розміщених на перетині другого, третього, четвертого рядків і першого, третього, четвертого стовпців.

Верхній індекс означає нумерацію мінорів; нижній індекс — порядок мінора.

Доповняльним мінором для мінора k-го порядку називається такий мінор, який лишається у визначнику після викреслювання тих k рядків і тих k стовпців, на перетині яких містяться елементи, що утворили мінор k-го порядку.

Нехай мінор k-го порядку утворено з елементів, розміщених на перетині i1, i2, ..., ik рядків і j1, j2, ..., jk стовпців.

Алгебраїчним доповненнямдо мінора k-го порядку є доповняльний мінор (nk)-го порядку, узятий зі знаком , де   Якщо сума  номерів рядків і стовпців парна, то береться знак «+», якщо непарна — то знак «–».

Далі важливу роль відіграватиме алгебраїчне доповнення до мінора першого порядку. Нехай  — будь-який елемент-мінор першого порядку у визначнику n-го порядку, тоді  буде алгебраїчним доповненням до мінора . Тут — доповняльний мінор (n–1)-го порядку, утворений викреслюванням i-рядка і j-стовпця в початковому визначнику n-го порядку.

4. Обчислення визначників

Означення. Визначником n-го порядку називається число , яке дорівнює алгебраїчній сумі добутків елементів будь-якого рядка або стовпця на відповідні їм алгебраїчні доповнення:

  (1.3)

Алгебраїчні доповнення, що входять до формули (1.3), за якою обчислюють визначник, є, у свою чергу, мінорами, узятими з відповідними знаками, тобто визначниками (n–1)-го порядку. Отже, обчислення визначника n-го порядку зводиться до обчислення n визначників (n–1)-го порядку.

Але з формули (1.3) випливає, що за наявності у визначнику нульових елементів відповідні алгебраїчні доповнення обчислювати не потрібно.

Згідно з властивістю 8, яка справджується для визначників будь-якого порядку, можна визначник перетворити так, щоб у його рядках або стовпцях усі елементи, крім одного, дорівнювали нулю. І тоді, розклавши визначник за елементами цього рядка або стовпця, зведемо задачу знаходження визначника n-го порядку до знаходження одного визначника n–1-го порядку.

5. Правило Крамера

Розглянемо систему n лінійних рівнянь з n невідомими:

                                      (1.4)

Теорема. Якщо головний визначник  складений із коефі­цієнтів при невідомих системи n лінійних рівнянь з n невідомими (1.4), відмінний від нуля, то така система рівнянь має єдиний розв’язок (сумісна і визначена), який обчислюється за формулами: ,

де — головний визначник системи, який утворюється з коефіцієнтів при невідомих у лівій частині системи (1.4);

— визначник, який утворюється заміною j-го стовпця в головному визначнику на стовпець вільних членів.

Тема 2. Елементи теорії матриць

План

  1. 1.      Основні поняття.
  2. 2.      Дії з матрицями.
  3. 3.      Обернена матриця.
  4. 4.      Ранг матриці.

1. Основні поняття

Розглянемо ще один математичний об’єкт, пов’язаний із системою рівнянь (1.1).

Означення. Матрицею називається прямокутна таблиця чисел, яка має m рядків і n стовпців. Якщо повернутися до системи рівнянь (1.1), то коефіцієнти при невідомих у лівій частині якраз і утворюють таку прямокутну таблицю:       .

Числа  називаються елементами матриці, а запис  означає її розмір. Зауважимо, що на першому місці в цьому запису зазначено кількість рядків матриці, а на другому — кількість стовпців. Наприклад, запис розміру матриці  означає, що в ній п’ять рядків і три стовпці. Якщо кількість рядків матриці дорівнює кількості її стовпців, то матриця називається квадратною.

Дві матриці рівні між собою, якщо вони мають однаковий розмір і всі їх відповідні елементи рівні між собою.

Елементи з двома однаковими індексами a11, a22, a33, ... annутворюють головну діагональ матриці. Якщо , то матриця називається симетричною.

Квадратна матриця, в якої елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а всі інші нулю, називається одиничною матрицею:       .

Коли всі елементи матриці, що містяться по один бік від головної діагоналі, дорівнюють нулю, то матриця називається трикутною.

Кожній квадратній матриці можна поставити у відповідність визначник, який складається з тих самих елементів.                       .

Якщо такий визначник відмінний від нуля, то матриця називається неособливою, або невиродженою. Якщо визначник дорівнює нулю, то матриця особлива, або вироджена.

 

 

 

 

2. Дії з матрицями

  1. 1.   Сумою матриць одного й того самого порядку  і  називається матриця ; , будь-який елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів матриць
    А і В: . Наприклад обидві матриці ,  мають розмір , тому за означенням можна утворити їх суму — матрицю

.

2. Добутком матриці  на деяке число  називається така матриця С, кожен елемент якої  утворюється множенням відповідних елементів матриці А на , .

Приклад. ,  .

Очевидно, що для суми матриць і добутку матриць на число виконуються рівності:

1)             ; 2) ; 3) ; 4)  , 5) .

Добутком матриці  розміру  на матрицю  розміру  називається така матриця  розміру , , кожний елемент можна знайти за формулою:

.

Кожний елемент матриці С утворюється як сума добутків відповідних елементів і-го рядка матриці А на відповідні елементи j-го стовпця матриці В, тобто за схемою:

 

Зазначимо, що в результаті множення дістанемо матрицю розміру .

З означення випливає, що добуток матриць некомутативний:.

Повернемось до системи рівнянь (1.1) і утворимо матриці: А — коефіцієнтів при невідомих, Х — невідомих, В — вільних членів:

,   ,   .

Тоді згідно з означенням добутку матриць систему рівнянь (1.1) можна записати в матричному вигляді:

                                             ,                                           (1.5)

який значно скорочує запис системи рівнянь.

3. Обернена матриця

Означення.Матриця А–1 називається оберненою матрицею до квадратної невиродженої матриці А, якщо виконується співвідношення: .

Нехай дано квадратну матрицю А. Доведемо, що коли , існує обернена матриця А–1. Розглянемо матрицю:

. Утворимо добутки  і .

 

За правилом множення матриць елементи матриці С знаходимо за формулою:

                            .                          (1.6)

Якщо i = j, то згідно з формулою (1.3) маємо: , тобто знаходимо значення визначника матриці А; якщо  то вираз (1.6) є сумою добутків елементів i-го рядка визначника на алгебраїчні доповнення, що відповідають j-му рядку цього самого визначника. За властивістю 9 визначників така алгебраїчна сума дорівнює нулю. Отже,  якщо i¹ j. Матриця С набирає вигляду: . Щоб ця матриця стала одиничною, треба помножити її на .

.

Отже, обернена матриця має вигляд:

.

Доведемо, що для матриці А матриця А–1 єдина. Для цього припустимо протилежне. Нехай існує одна матриця С, така що АС = СА Е. Тоді

САА–1 = С(АА–1) = СЕ = С,

а водночас

САА–1 = (СА)А–1 = ЕА–1 = А–1, звідси С = А–1.

Доходимо висновку, що початкове припущення неправильне, тобто обернена матриця єдина.

Повернемось тепер до виразу (1.5) — запису системи рівнянь у матричному вигляді АХ = В. Припустимо, що система складається з n лінійних рівнянь з n невідомими, матриця А — квадратна і  — матриця невироджена. Тоді для матриці А побудуємо обернену А— вона за тих припущень, які щойно зроблено, існує. Помноживши тепер матричну рівність АХ = В зліва на матрицю А1, дістанемо:

,

або остаточно .

Останній вираз — це розв’язок системи лінійних рівнянь. Зауважимо, що в такому вигляді можна записати розв’язок будь-якого матричного рівняння, якщо матриця А задовольняє умови існування А–1.

4. Ранг матриці

Розглянемо матрицю А розміром  

 

і введемо ще одне важливе поняття.

Означення. Рангом матриці А розміром  називається найвищий порядок відмінного від нуля мінора, утвореного з елементів цієї матриці. Зрозуміло, що , а най-
більший можливий ранг матриці може дорівнювати меншому з чисел m і n.

Обчислюючи ранг матриці, потрібно переходити від мінорів менших порядків, відмінних від нуля, до мінорів більших порядків. Якщо вже знайдено відмінний від нуля мінор М k-го порядку, то достатньо обчислити лише мінори -го порядку, що обводять мінор М. Якщо всі вони дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює k. Якщо серед них знайдеться такий, що відмінний від нуля, то далі для нього будуються обвідні мінори -го порядку і т. д.

Означення. Елементарними перетвореннями матриці А називаються такі її перетворення:

1)   заміна місцями двох рядків або двох стовпців матриці;

2)   множення рядка або стовпця матриці на довільне відмінне від нуля число;

3)   додавання елементів одного рядка або стовпця до відповідних елементів іншого рядка або стовпця, попередньо помноженого на деяке число.

Теорема. Елементарні перетворення не змінюють рангу матриці.

Далі матриці, які мають рівні ранги, називатимемо еквівалентними матрицями. Еквівалентні матриці об’єднуватимемо знаком «~» («тильда»).

 


Тема 3.

Векторна алгебра.

План

1.Вектори, лінійні операції над векторами.

2.Скалярний, векторний і мішаний добуток векторів.

3.Найпростіші задачі аналітичної геометрії.

1. Вектори, лінійні операції над векторами

Означення. Вектором називається напрямлений відрізок. Позначати вектори будемо , ... . Якщо, скажімо, точка А — початок вектора, а точка В — його кінець, то маємо .

Вектор, в якого початок і кінець збігаються, називається нульовим вектором.

Вектор вважається заданим, коли відома його довжина ,  і напрям щодо деякої осі.

Два вектори  і  називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих.

Вектори  і  вважаються рівними, коли вони: 1) колінеарні; 2) однаково напрямлені; 3) їхні довжини рівні.

З останнього випливає, що при паралельному перенесенні вектора дістаємо новий вектор, що дорівнює попередньому, тому вектори в аналітичній геометрії називають вільними.

Нехай у просторі задано деяку вісь l і вектор. Проведемо через точки А і В площини, перпендикулярно до осі l (рис. 2.7). Позначимо точки перетину цих площин з віссю l відповідно  і .

 

Рис. 3.1

Означення. Проекцією вектора  на вісь l називається довжина  напрямленого відрізка  на осі l. Слід зазначити, що , якщо напрям  збігається з напрямом l і , якщо напрям  протилежний напряму l.

Позначається проекція вектора  на вісь lпрl. З рис. 2.7 випливає формула знаходження проекції вектора на вісь:

прl= ,

де  — кут між вектором і віссю.

Якщо розглянути прямокутну декартову систему координат і точки початку А (х1, у1, z1) і кінця В (х2, у2, z2) вектора , то проекції вектора  на кожну з осей мають вигляд:

Охах = х2х1,   Оуау = у2у1,   Оzаz = z2z1.

 

Довжина вектора подається формулою:

                                                               (3.1)

Якщо позначити a, b, g — кути між вектором і відповідними осями системи координат, то їх косинуси можна знайти за формулами:

.                                                   (3.2)

У подальшому називатимемо їх напрямними косинусами вектора . Піднісши кожну з формул (2.5) до квадрата і скориставшись (2.4), дістанемо:

cos2a + cos2b + cos2g = 1.

Дії з векторами виконуються за правилами:

1. Додавання:

= (ах + bх, ау + bу, аz + bz).

2. Множення вектора на число a Î R:

.

Для лінійних операцій з векторами виконуються властивості:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Теорема. Проекція суми двох векторів на вісь дорівнює сумі їхніх проекцій на цю вісь:

 

Теорема. При множенні вектора на число його проекція на цю вісь також множиться на це число:

 

Нехай вектори  такі, що за напрямом збігаються відпо-
відно з осями Ох, Оу, Оz і . Такі вектори надалі називатимемо одиничними векторами осей системи координат. Тоді

                                                                                              (3.3)

 

2. Скалярний, векторний і змішаний добуток векторів

Означення. Скалярним добутком двох ненульових векторів  і  називається число (скаляр), яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними. Якщо хоча б один із векторів дорівнює нулю, то кут між векторами не визначений і за означенням скалярний добуток дорівнює нулю.

Отже:

,

де j — кут між векторами. Використовуючи формулу проекції вектора, можна також записати:

.

Властивості скалярного добутку:

1. .                                 4. .

2. .                         5.  якщо  і навпаки,

3. .                            якщо

                                                          .

Нехай вектори  і  задано за допомогою (2.6), тоді, використовуючи властивості скалярного добутку, умови  маємо:

                                      (3.4)

Отже,

З рівності (2.7) випливає, що:

1. Необхідною і достатньою умовою перпендикулярності векторів  і  є ах bх + ау bу + аz bz = 0.

2. Кут між двома векторами  і  можна знайти за формулою:

.

Означення. Векторним добутком вектора  на вектор  називається вектор , якщо:

1) довжина вектора , де j — кут між двома векторами;

2) вектор  перпендикулярний до кожного з векторів  і

 

Рис. 3.2

3) вектор  спрямований так, що коли дивитися з його кінця на площину, в якій лежать вектори  і , то поворот вектора  до вектора  відбувається на найменший кут проти годинникової стрілки.

Модуль векторного добутку двох неколінеарних векторів дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах як на сторонах.

 

Властивості векторного добутку:

1. , якщо  і  — колінеарні вектори.

2. .

3. .

4. .

Знайдемо векторні добутки одиничних векторів . З колінеарності векторів випливає: . З того, що одиничні вектори збігаються з напрямом осей прямокутної системи координат, маємо:

 

Знайдемо координати вектора , якщо , .

                             (3.5)

або

.

Означення. Мішаним добутком векторів  називається число, яке дорівнює скалярному добутку вектора  на векторний добуток векторів  і , тобто .

 

Рис. 3.3

Розглянемо геометричний зміст змішаного добутку. Для цього побудуємо на векторах , вважаючи, що вони не лежать в одній площині, тобто не компланарні, паралелепіпед (рис. 2.9).

Знайдемо об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах  (рис. 2.9). Площа основи його дорівнює модулю векторного добутку векторів  . Висота дорівнює . Отже, остаточно маємо:

.                              (3.6)

З останнього випливає, що модуль мішаного добутку чисельно дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах . З рівності (2.9) маємо умову компланарності трьох векторів .

.

Ураховуючи формули (2.7) і (2.8) знаходження скалярного і векторного добутків, маємо:

 

або

.

 

Властивості мішаного добутку:

1. .

2. .

 

3. Найпростіші задачі аналітичної геометрії

1. Відстань між двома точками.

 

Рис. 3.4

 

Нехай задано дві точки М1 (х1, у1) і
М2 (х2, у2) (рис. 2.10).

.

Трикутник М1М2K — прямокутний, тому за теоремою Піфагора маємо:

  (3.7)

 

2. Поділ відрізка у заданому відношенні.

 

Рис. 3.5

 

Число l — називається відношенням, в якому точка М ділить відрізок М1М2 (рис. 2.11), якщо

.

Нехай задано l і координати точок  і , треба знайти координати точки М (х, у).

З рис. 2.11 і теореми про пропорційні відрізки, що відтинають паралельні прямі на сторонах кута, випливають співвідношення:

.

Оскільки числа хх1 і х2х одного й того самого знака (при х1 < х2 вони додатні, а при х1 > х2 — від’ємні), то . Отже, .

Звідси:

.                                                                                 (3.5)

Аналогічно до попереднього дістанемо формулу для знаходження координати у

.                                                                                 (3.6)

Наслідок. Якщо точка М (х, у) — середина відрізка М1 М2, то
l = 1 і формули (2.11), (2.12) набирають вигляду:

.

 

Рис. 2.12

3. Площа трикутника.

 

Нехай задано координати вершин деякого трикутника А (х1, у1), В (х2, у2), С (х3, у3) (рис. 2.12).

Знайдемо площу цього трикутника.

 

 

 

Тема 4.

Пряма на площині і в просторі

 

План

  1. 1.      Рівняння прямої у просторі.
  2. 2.      Взаємне розміщення прямої і площини у просторі.

 

1. Рівняння прямої у просторі

Пряму у просторі можна задати як лінію перетину двох площин у прямокутній системі координат:

                                                              (4.1)

Зрозуміло, що ці площини мають бути непаралельними, тобто їхні нормальні вектори ,  — не колінеарні. Система (2.31) називається загальним рівнянням прямої. Дістанемо ще деякі форми рівняння прямої.

Канонічне рівняння прямої. Нехай у системі координат Охуz задано пряму l і ненульовий вектор , колінеарний цій прямій. Точка  належить прямій, а напрямний вектор . Тоді довільна точка М (х, у, z) лежатиме на прямій тоді і тільки тоді, коли вектори  і  колінеарні:

.                                                                (4.2)

Рівняння (2.32) називається канонічним рівнянням прямої у просторі.

Параметричне рівняння.

У рівнянні прямої (2.32) позначимо через t кожне з рівних відношень. Тоді

.

Звідси дістаємо:

 

Параметричне рівняння прямої в просторі.

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

Нехай дві точки  і  належать прямій у просторі. Тоді вектор  можна розглядати як напрямний вектор прямої. Замінюючи ним вектор  у рівнянні (2.32), дістанемо шукане рівняння прямої у просторі

.

 

 

Для знаходження кута між двома прямими

 і

візьмемо до уваги, що вектори  і  колінеарні відповідним прямим і скористаємося формулою:

.

З останньої формули випливає умова перпендикулярності двох прямих

,

а умову паралельності двох прямих дістанемо як умову колінеарності напрямних векторів  і :

.

 

Розглянемо ще задачу знаходження відстані від точки  до прямої .

Рис. 4.1

Шукану відстань можна розглянути як довжину висоти паралелограма, побудованого на векторах  і  (рис. 4.1). Відомо, що площа паралелограма дорівнює модулю векторного добутку векторів, на яких побудовано цей паралелограм. Доходимо висновку, що шукану висоту, а отже, і відстань від точки до прямої можна знайти за формулою:

         (4.3)

2. Взаємне розміщення прямої і площини у просторі

Нехай задано пряму  і площину   у просторі. Якщо

,

то пряма перпендикулярна до площини, а коли

,

пряма паралельна площині.

Нехай . Знайдемо координати точки перетину площини і прямої. Перейдемо до канонічного рівняння прямої

 

 

 

 

Знайдемо кут між площиною і прямою.

 

Рис. 4.2

 

Кут j між площиною і прямою дорівнює куту між прямою і її проекцією на площину (рис. 2.24). Вектор  — перпендикулярний до площини, а кут a, який він утворює з вектором , разом з j у сумі дорівнює 90°. Тобто a + j = 90°.

Знайдемо кут a як кут між двома векторами.

.

Якщо , то , а якщо , то , у будь-якому разі . Отже,

.

 

 

Тема.  Криві другого порядку

План

  1. 1.      Канонічне рівняння еліпса.
  2. 2.      Канонічне рівнянням гіперболи.
  3. 3.      Канонічне рівнянням параболи і кола.

 

Розглянемо тепер лінії другого порядку, які на площині в загальному випадку можна записати так:

а11х2 + 2а12ху + а22у2 + 2а13х + 2а23у + а33 = 0.              (5.1)

Рівняння (2.19) описує всі криві другого порядку в загальному випадку. Спинимось спочатку на простіших, так званих канонічних рівняннях ліній другого порядку.

Еліпс. Означення. Множина точок площини, для яких сума відстаней від двох заданих точок, що називаються фокусами, є величина стала й така, що дорівнює 2а і більша, ніж відстань між фокусами, називається еліпсом.

 

Рис. 5.1

На рис. 2.16 зображено F1 (–c, 0),
F2 (c, 0) — фокуси еліпса, М (х, у) — точка множини, яка задовольняє означення, тобто  причому 2с < < 2a Þ a > c.

Тоді

                 (5.2)

канонічне рівняння еліпса, де b2 = а2с2.

Розглянемо геометричний зміст параметрів, що входять в рівняння (5.2). Якщо х = 0, у = ± b, тобто точки (0, b) і (0, – b) є точками перетину еліпса з віссю Оy. Відрізок завдовжки b називають малою піввіссю еліпса. При у=0, ха і відповідно (а,0); (– а; 0) є точками перетину еліпса з віссю Ох. Відрізок завдовжки а — велика піввісь еліпса. З парності виразу (5.2) за х і за у випливає симетрія еліпса відносно осей Ох і Оу. На рис. 5.1 зображено еліпс.

Ексцентриситет еліпса — це відношення ; за означенням сa і eÎ[0, 1). Оскільки  то . З останньої рівності випливає геометричний зміст ексцентриситету, який полягає в тому, що він характеризує ступінь витягнутості еліпса. Так, при  маємо коло, якщо e наближається до одиниці, то відношення довжини півосей еліпса стає малим, тобто еліпс витягується вздовж осі Ох.

Гіпербола. Означення. Множина точок площини, для яких модуль різниці відстаней від двох заданих точок, що називаються фокусами, є величиною сталою, яка дорівнює 2а і менша за відстань між фокусами, називається гіперболою.

Скористаємось рис. 2.17, з якого бачимо, що точки F1 (– c, 0) і F2 (c, 0) — фокуси гіперболи, точка М (х, у) — точка визначеної множини. Тоді .

Канонічне рівняння гіперболи має вигляд:

,   де    b2 = c2a2.

 

             Рис. 5.2

Дослідимо здобуте рівняння. Гіпер­бола не перетинає вісь Оу. При у = 0;
ха і точки (–а,0); (а,0) — точки перетину з віссю Ох. Розглянемо ще рівняння прямих , які далі називатимемо асимптотами гіперболи. Враховуючи симетрію відносно осей Ох і Оу, будуємо графік гіперболи, який зображено на рис. 5.2.

Відрізки завдовжки b і а називають відповідно уявною і дійсною осями гіперболи.

Ексцентриситет гіперболи , але с > a і e >1. Беручи до уваги, що с2 = а2 + b2, дістаємо: , або .

З останньої рівності випливає, що для гіперболи ексцентриситет характеризує ступінь нахилу віток гіперболи до осі Ох.

Дві прямі, рівняння яких , називаються директрисами еліпса і гіперболи. Для еліпса  і відношення , директриси еліпса — це дві прямі, що розміщені симетрично відносно осі Оу і проходять зовні еліпса. Для гіперболи e > 1 і відношення . Тобто директриси гіперболи розміщені симетрично відносно осі Оу і лежать між вітками гіперболи.

Для еліпса і гіперболи можна сформулювати важливе твердження: якщо r — відстань від деякої точки еліпса або гіперболи до будь-якого фокуса, а d — відстань від цієї самої точки до директриси, яка відповідає цьому фокусу, то відношення  стале й дорівнює ексцентриситету, тобто .

Розглянуте твердження можна покласти в основу означення цих ліній.

Означення. Множина точок, для яких відношення відстаней від фокуса і до відповідної директриси — величина стала, що дорівнює ексцентриситету e, є еліпс, якщо e < 1, і гіпербола,
якщо e > 1.

 

          Рис. 5.3

Парабола. Означення. Множина то­чок площини, що містяться на однаковій відстані від даної точки фокуса і даної прямої, яка не проходить через фокус і називається директрисою, є парабола.

За означенням r = d, отже (див. рис. 5.3):

 або у2 = 2рх

— канонічне рівняння параболи, коли e = 1. Парабола симетрична осі Ох, проходить через початок системи координат. Її графік подано на рис. 5.3.

 

           Рис. 5.4

 

Коло. До кривих другого порядку належить і добре відома лінія, яка називається колом (рис. 5.4).

Означення. Множина точок, що містяться на однаковій відстані від
заданої точки — центра, називається колом. За означенням ОМ R або .

Піднісши обидві частини рівняння до квадрата, дістанемо:

(ха)2 + (уb)2 = R2                             (5.4)

— канонічне рівняння кола. Тут (а, b) — координати центра кола, R — його радіус. Розкривши дужки в лівій частині (5.4), дістанемо, очевидно, рівняння другого степеня, тобто коло — також крива другого порядку.

 

 

 

 

 

Тема 6. Границя числової послідовності

 

План

  1. 1.    Поняття числової послідовності та її границі.
  2. 2.    Загальні властивості  збіжних послідовностей.
  3. 3.    Теореми, які полегшують знаходження границь послідовностей.

 

1. Поняття числової послідовності та її границі

Означення. Числова функція , область визначення якої є множина натурального ряду чисел, називається числовою послідовністю, або просто послідовністю, і позначається , надалі писатимемо

Значення  називаються чле­нами послідовності. Послідовність вважається заданою, якщо задано n-й член послідовності.

Приклад. Записати три перші члени послідовності . Маємо

Приклад. За заданими трьома першими членами послідовності  знайти формулу n-го члена.

Задача розв’язується методом добору з наступною перевіркою .

Означення. Число а називається границею послідовності , якщо для будь-якого , яке б мале воно не було, існує номер N такий, що для всіх номерів  виконується нерівність .

Позначення  або .

Для стислого запису означення границі використаємо квантори: " — для будь-якого, будь-який; $ — існує, знайдеться;
: = дорівнює за означенням, означає. Тоді означення границі послідовності за допомогою цих символів запишеться так:

 

Розглянемо геометричну інтерпретацію границі послідовності. На числовій осі побудуємо e-окіл числа а, тобто інтервал (а – e; а + e), і покажемо, як розміщуватимуться точки, які відповідають членам послідовності , при  (рис. 3.12).

 

Рис. 6.1

 

Означення. Число а називається границею послідовності xn, якщо для будь-якого e-околу точки а існує номер N такий, що, починаючи з номерів , усі члени послідовності перебувають в e-околі точки а (див. рис. 6.1).

Означення. Послідовність називається збіжною, якщо вона має границю (скінченну). Послідовність, яка не має границі, називається розбіжною.

Приклад. Довести за означенням, що .

Зауважимо, що n-й член послідовності ; сама послідовність така: . Для доведення потрібно за заданим  знайти номер послідовності N,такий, що при всіх номерах  виконуватиметься нерівність . Розв’яжемо останню нерівність відносно n:

 

Виберемо* . Тоді при  нерівність  виконується, а отже, виконується і нерівність , чим доведено, що  Отже, для доведення за означенням певної границі послідовності досить побудувати функціональну залежність N від числа e, тобто знайти функцію N(e). У розглянутому прикладі функ­ція , і за заданим будь-яким  завжди можна знайти відповідний номер N; наприклад при ,  при  нерівність  виконується.

 

  1. 2.      Загальні властивості  збіжних послідовностей.

 

Теорема 1. (Єдиність границі послідовності). Якщо послідовність має границю, то вона єдина.

Теорема 2. (Необхідна умова збіжності послідовності). Якщо послідовність збіжна, то вона обмежена.

Теорема 3. Якщо , то існує такий но­мер N, що при всіх  виконується нерівність .

Приклад. Послідовність  у розгорнутому вигляді така: . Для номерів  усі члени послідовності  будуть менші за 2.

Теорема 4. Границя сталої величини дорівнює сталій, тобто  

  1. 3.       Теореми, які полегшують знаходження границь послідовностей.

Теорема 1. (Граничний перехід у нерівності).

Якщо для будь-якого n виконується нерівність  і  — збіжні, то .

Теорема 2. (Про границю затисненої послідовності). Якщо для будь-якого n  і , то

Приклад.

Теорема 3. (Вейєрштрасса). Про границю монотонної й обмеженої послідовності:

1) якщо монотонно зростаюча послідовність обмежена зверху, то вона збіжна;

2) якщо монотонно спадна послідовність обмежена знизу, то вона збіжна.

Приклад. Довести, що  при . При  доведення очевидне. Нехай , тоді послідовність  — монотонно спадна (див. рис. 3.8) і обмежена знизу . Отже, за теоремою Вейєрштрасса послідовність  має границю, яку позначимо так: . Послідовність , за винятком першого члена, збігається з послідовністю , отже, . Звідси випливає, що , тобто  або , але , отже, . Нехай тепер .

Розглянемо

 

Приклад.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лекція №___

Тема 7.

Диференціальне числення функції однієї змінної

Похідна функції.

План

  1. 1.    Означення похідної.
  2. 2.    Основні правила диференціювання.
  3. 3.    Похідні від основних елементарних функцій.
  4. 4.    Похідні вищих порядків.

1. Означення похідної

Нехай функція  визначена на деякому проміжку (а; b). Візьмемо значення  і надамо аргументу приросту . Тоді функція набуде приросту . Розглянемо відношення приросту функції  до приросту аргументу  і перейдемо до границі при :

                            .       (7.1)

Якщо границя (4.1) існує і скінченна, вона називається похідною функції  за змінною х і позначається       .

Означення. Похідною функції  за аргументом х називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

Операція знаходження похідної називається диференціюванням цієї функції.

Користуючись означенням похідної, знайти похідні функцій.

Приклад. Функція у = х2. Знайти похідну в точках х = 3 і х = – 4.

l Надамо аргументу х приросту , тоді функція набуде приросту

Складемо відношення приросту функції до приросту аргументу , відшукаємо границю . Таким чином, .

Похідна в точці х = 3 , а похідна при х = – 4 буде .

Приклад. , де .

l Надавши аргументу  приросту , дістанемо приріст функ­ції . Тепер знайдемо границю відношення  при :

 , тобто

 

 

 

 

Приклад. .

l Користуючись відомою з тригонометрії формулою

,

знайдемо приріст функції у точці  і обчислимо границю:

,

;   .

Аналогічно можна дістати: .

Приклад. .

l Для цієї функції маємо

,    тобто .

2. Основні правила диференціювання

Теорема 1. Похідна сталої дорівнює нулю, тобто якщо у = с, де с = const, то .

Теорема 2. Похідна алгебраїчної суми скінченної кількості диференційовних функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій: .

Теорема 3. Похідна добутку двох диференційовних функцій дорівнює добутку першого множника на похідну другого плюс добуток другого множника на похідну першого:

.

Теорема 4. Сталий множник можна виносити за знак похідної:

, де .

Теорема 5. Якщо чисельник і знаменник дробу диференційовні функції (знаменник не перетворюється в нуль), то похідна дробу також дорівнює дробу, чисельник якого є різницею добутків знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадратом знаменника початкового дробу .

Зауваження. Похідну від функції , де , зручно обчислювати як похідну від добутку сталої величини  на функцію u (x):

.

 

 

Приклад. Обчислити похідну для функції у = tg x.

 

Таким чином, .

Похідна складної функції. Нехай у = f (u), де , тобто . Функція f (u) називається зовнішньою, а функція  — внутрішньою, або проміжним аргументом.

Теорема 6. Якщо у = f (u) та  — диференційовні функції від своїх аргументів, то похідна складної функції існує і дорівнює .

Таким чином, похідна складної функції дорівнює добутку похідної зовнішньої функції за проміжним аргументом на похідну проміжного аргументу за незалежною змінною.

Похідна неявної функції. Нехай рівняння F (x; y) = 0 визначає у як неявну функцію від х. Надалі будем вважати, що ця функція — диференційовна.

Продиференціювавши за х обидві частини рівняння F (x; y) = 0, дістанемо рівняння першого степеня відносно . З цього рівняння легко знайти , тобто похідну неявної функції.

Приклад. Знайти  з рівняння .

l Оскільки у є функцією від х, то у2 розглядатимемо як складну функцію від х, тобто .

Продиференціювавши по х обидві частини заданого рівняння, дістанемо . Звідси .

Похідна оберненої функції. Нехай задані дві взаємно обернені диференційовні функції

у = f (х) та .

Теорема 7. Похідна  оберненої функції  по змінній у дорівнює оберненій величині похідної  від прямої функції .

Приклад. Обчислити похідну для функції .

l Задана функція обернена до функції . Згідно з теоремою 7 можна записати

.

Звідси .

Якщо в останньому виразі замість у записати х, то дістанемо

.

 

 

 

3. Похідні від основних елементарних функцій

За аналогією з попередніми прикладами можна дістати похідні від основних елементарних функцій:

1. ;                                                  2. ;  

3. ;                                               4. ;

5. ;                                             6. ;

7. ;                                       8. ;         

9. ;                                       10. ;

11. ;                            12. ;

13. ;                                 14. .

Продиференціювати подані далі функції.

Приклад. .

l Дана функція є алгебраїчною сумою функцій, тому використовуємо теорему 2:

.

У здобутому виразі перший доданок алгебраїчної суми є добуток сталої величини на степеневу функцію Þ — застосуємо до нього теорему 4 і формулу (2) таблиці похідних; другий — ірраціональна функція з показником  — застосуємо формулу (2) таблиці похідних; третій — логарифмічна функція з основою е Þ — використаємо формулу (5):

.

Приклад. .

l Задана функція складна: зовнішня — показникова функція з основою 6, внутрішня для неї — обернена тригонометрична. Обернена тригонометрична, у свою чергу, є складною, для якої внутрішня функція — алгебраїчна сума . Для суми аргументом (скінченним) є х.

Таким чином, задана функція є суперпозицією трьох функцій.

При диференціюванні послідовно застосовуємо два рази теорему 6:

 

У цьому виразі знизу біля кожної квадратної дужки вказано аргумент, за яким слід диференціювати функцію, взяту в дужки.

Тепер послідовно скористаємося формулами (4), (11), (2) таблиці похідних та теоремами 1, 2. Дістанемо:

.

Взагалі використані правила та формули не фіксують, а записують кінцевий результат їх застосування.

Приклад. .

l Задана функція є степенево-показниковим виразом виду

                          , де .            (7.5)

Прологарифмуємо функцію (4.5) за основою е:

                                        .                                           (7.6)

Оскільки  і  — складні функції, після диференціювання обох частин рівності (4.6) дістанемо:

.

Звідси .

Таким чином, дістали формулу для знаходження похідної від степенево-показникової функції виду (4.5).                         . (7.7)

У даному випадку формула (4.7) виглядає як              .

4. Похідні вищих порядків

Похідна  від функції  називається похідною першого порядку і являє собою деяку нову функцію. Мож­ливі випадки, коли ця функція сама має похідну. Тоді похідна від похідної першого порядку  називається похідною другого порядку від функції  і позначається  .

Похідна від похідної другого порядку  називається похід­ною третього порядку і означається , .

Похідна від похідної (n – 1)-го порядку  називається похідною n-го порядку і позначається .

Таким чином,

Приклад. Знайти похідну третього порядку для функції .

l .

Лекція № ___

Тема Інтегральне числення.

План

  1. 1.      Поняття первісної.
  2. 2.      Задача інтегрування. Невизначений інтеграл.
  3. 3.      Властивості невизначеного інтеграла. Таблиця основних інтегралів.
  4. 4.      Поняття визначеного інтеграла. Властивості визначеного інтеграла.
  5. 5.      Формула Ньютона—Лейбніца. Обчислення площ плоских фігур в прямокутній системі координат.

1. Поняття первісної

Означення. Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на проміжку І, якщо на цьому проміжку  або .

Із означення виходить, що первісна F(x) — диференційовна, а значить неперервна функція на проміжку І, і її вигляд суттєво залежить від проміжку, на якому вона розглядається.

Приклад. Первісні для функції  мають вигляд:

, бо ;

 

 бо ;

, бо ,

 

Рис. 8.1

причому F1(x), F2(x) — неперервні , а F3(x) у точці х = 0 має розрив (рис. 7.1). У цьому прикладі пер­вісні Fі(x) і = 1, 2, 3, знайдені методом добору із наступною перевіркою, з використанням таблиці похід­них функцій.

Теорема 1 (про множину первісних). Якщо F(x) — первісна для функції f(x) на проміжку І, то

1) F(x) + С — також первісна для f(x) на проміжку І;

2) будь-яка первісна Ф(х) для f(x) може бути подана у вигляді Ф(х) = F(x) + С на проміжку І. (Тут С = const називається довільною сталою.)

Наслідок.Дві будь-які первісні для однієї й тієї самої функції на проміжку І відрізняються між собою на сталу величину (рис. 8.1).

2. Задача інтегрування. Невизначений інтеграл

Означення.Операція знаходження первісних для функції f(x) називається інтегруванням f(x).

Задача інтегрування функції на проміжку полягає у тому, щоб знайти всі первісні функції на цьому проміжку, або довести, що функція не має первісних на цьому проміжку.

Для розв’язування задачі інтегрування функції достатньо знайти одну будь-яку первісну на розглядуваному проміжку, наприклад F(x), тоді (за теоремою про множину первісних) F(x) + С — загальний вигляд всієї множини первісних на цьому проміжку.

Означення. Функція F(x) + С, що являє собою загальний вигляд всієї множини первісних для функції f(x) на проміжку І, називається невизначеним інтегралом від функції f(x) на проміжку І і позначається

                            , ,                     (8.1)

де — знак невизначеного інтеграла;

f(x) — підінтегральна функція;

f(x)dx — підінтегральний вираз;

 

dx — диференціал змінної інтегрування.

Рис. 8.2

Геометричний зміст невизначеного інтеграла полягає в тому, що функція  є рівняння однопараметричної сім’ї кривих, які утворюються одна з одної паралельним перенесенням уздовж осі ординат (рис. 8.2).

 

Теорема 2 (Коші). Для існування невизначеного інтеграла для функції f(x) на певному проміжку достатньо, щоб f(x) була неперервною на цьому проміжку.

Зауваження.Виявляється, є такі невизначені інтеграли від елементарних функцій, які через елементарні функції не виражаються, наприклад:

, , ,

існують у кожному із проміжків області визначення, але записати їх через основні елементарні функції не можна; в такому розумінні ці інтеграли називають «неінтегровними».

3. Властивості невизначеного інтеграла

а) Властивості, що випливають із означення (8.1).

І. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції .

ІІ. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу.

ІІІ. .

б) Властивості, що відображають основні правила інтегрування.

IV. Сталий множник, що не дорівнює нулю, можна виносити з-під знака інтеграла, тобто

                                                     (8.2)

V. Невизначений інтеграл від суми функцій дорівнює сумі невизначених інтегралів від цих функцій, якщо вони існують, тобто

                                        (8.3)

 

4. Таблиця основних інтегралів

1. ;              2. ;      3. ;

4. ;         5. ;  6. ;

7. ;                8. ;

9. ;                 10. ;

11. ;             12. ;

13. ;                14. ;

 

15. ;

16. ;

 

17. ;

18. ;

 

19. ;

20. ;

 

21. .

5. Поняття визначеного інтеграла

Нехай  — деяка функція, що задана на проміжку [a; b]. Розіб’ємо [a; b] на n частин точками  так що    

Обчислимо  де   

Складемо інтегральну суму .

Позначимо .

Означення. Якщо існує скінченна границя інтегральних сум Sn при  і не залежить ні від способу розбиття [a; b] на частини , ні від вибору точок , то ця границя називається визначеним інтегралом від функції  на проміжку [a; b] і позначається:

,                                                           (8.4)

Де        — знак визначеного інтеграла;

а, b      — нижня та верхня межі інтегрування;

f(x)       — підінтегральна функція;

f(x) dx       — підінтегральний вираз;

dx        — диференціал змінної інтегрування.

За означенням, визначений інтеграл  — число, яке залежить від типу функції  та проміжку [a; b]; він не залежить від того, якою буквою позначена змінна інтегрування:

 

Означення. Функція, для якої на [a; b] існує визначений інтеграл  називається інтегровною на цьому проміжку.

Далі буде показано, що неперервні функції — інтегровні.

Геометричний зміст визначеного інтеграла

Якщо , то  дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції (рис. 8.4).

6. Властивості визначеного інтеграла

І. Якщо , то

ІІ. Сталий множник можна виносити з-під знака визначеного інтеграла, тобто

ІІІ. Якщо  та  інтегровні на [a; b], то

 

IV. Якщо у визначеному інтегралі поміняти місцями межі інтегрування, то інтеграл змінить лише свій знак на протилежний, тобто

V. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю

VI. Якщо  — інтегровна в будь-якому із проміжків: [a; b], [ac], [с; b], то

VII. Якщо  і інтегровна для  то

VIII. Якщо , — інтегровні та  для   то

IX. Якщо f(x) — інтегровна та  для   то

 

Доведення випливає як наслідок із властивостей І та VIII.

Х. Теорема 7 (про середнє).

Якщо функція  — неперервна для  то знайдеться така точка  що:                    (8.5)

Геометричний зміст теореми про середнє полягає в тому, що існує прямокутник із сторонами  та b – a, який рівновеликий криволінійній трапеції аАВв за умови, що функція  та неперервна на проміжку [a; b] (рис. 7.6).

 

Рис. 8.3

  1. 1.                  Формула Ньютона—Лейбніца.

Розглянемо інтеграл , який буде функцією від верхньої межі інтегрування. Змінній х надамо приросту , що зумовить приріст функції.

                                           (рис. 8.4)

 

Рис. 8.4

Теорема 8. Якщо функція f(x) неперервна для будь-якого  то похідна від інтеграла зі змінною верхньою межею інтегрування по цій межі дорівнює підінтегральній функції від верхньої межі інтегрування, тобто

                                                         (8.6)

Наслідки:

1. Визначений інтеграл зі змінною верхньою межею від функції  є одна із первісних для .

2. Будь-яка неперервна функція на проміжку  має на цьому проміжку первісну, яку, наприклад, завжди можна побудувати у вигляді визначеного інтеграла зі змінною верхньою межею, тобто

 

Приклад. Знайти .

l Функція — неперервна на проміжку  тому

Теорема 9. (Ньютона—Лейбніца). Якщо функція  — неперервна для  то визначений інтеграл від функції  на проміжку  дорівнює приросту первісної функції  на цьому проміжку, тобто

                         де                (8.7)

Позначимо дію подвійної підстановки так:  тоді зв’язок між визначеним та невизначеним інтегралами можна подати такою рівністю:

           (8.8)

Наслідок. Для обчислення визначеного інтеграла достатньо знайти одну із первісних підінтегральних функцій і виконати над нею подвійну підстановку.

Приклад.

 

7. Обчислення площ плоских фігур в прямокутній системі координат.

Якою б не була криволінійна фігура, що обмежена неперервними кривими лініями, шляхом її розсікання лініями паралельними осям координат, обчислення площі фігури можна звести до обчислення площ розглянутих нижче фігур.

І. Фігура обмежена лініями , y = 0, x = a, x = b (рис. 8.5). Функція  — неперервна та  Площа S такої криволінійної трапеції за геометричним змістом визначеного інтеграла така: .

Якщо при виконанні всіх інших умов  (рис. 8.6),

                                                                              (8.9)

     

Рис. 8.5

Рис. 8.6

Рис. 8.7

ІІ. Фігура обмежена лініями  (рис. 8.7). Функція  — неперервна та  Площа S такої фігури буде

                                                                               (8.10)

 

Лекція № ___

Тема Диференціальні рівняння першого порядку

План

  1. 1.      Основні поняття.
  2. 2.      Задача Коші.

1. Основні поняття

Означення. Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке містить похідну шуканої функції. Найбільший порядок похідних називається порядком диференціального рівняння.

У загальному випадку диференціальне рівняння n-го порядку має вигляд

 

Далі замість слів «диференціальні рівняння» використовуватимемо позначення ДР.

Приклад.

 

— ДР першого порядку;

 

 

— ДР другого порядку;

 

 

— ДР третього порядку.

Диференціальне рівняння може визначити функцію багатьох змінних.

Приклад. Рівняння з частинними похідними

 

має розв’язок

 

який називається функцією Кобба—Дугласа.

У запропонованому розділі розглянути лише диференціальні і різницеві рівняння, в яких шукана функція залежить лише від одного аргументу. Такі рівняння називаються звичайними.

У даній темі вивчаємо ДР першого порядку, які в загальному вигляді можна записати рівнянням

                                                                              (9.1)

Це — ДР рівняння, що не розв’язане відносно похідної. Якщо рівняння (8.1) можна розв’язати відносно похідної, то рівняння (8.1) подаємо у вигляді

                                             .                                     (9.2)

Це ДР рівняння, що розв’язане відносно похідної, і його можна записати у вигляді  або .

Якщо  є дробом, , тоді ДР першого порядку можна записати в симетричній формі

                                                            (9.3)

Означення. Розв’язком ДР  називається функція , яка при підстановці у ДР перетворює його на тотожність. Графік функції  називається інтегральною кривою.

Приклад. Задача інтегрування функцій може бути розглянута як задача інтегрування ДР

 

і має розв’язок

 

який знаходиться інтегруванням, тобто квадратурою.

Інтегральні криві утворюються зсувом однієї з них вздовж осі у.

Приклад. ДР  має розв’язок .

l Справді, . Підставивши  в рівняння, дістанемо тотожність

Звичайно, ДР має нескінченну множину розв’язків. Так, попереднє рівняння  має розв’язок , де С — довільний параметр.

2. Задача Коші

Розглянемо ДР .

Означення.Задача пошуку розв’язку , що задовольняє умови

 при                                                                          (9.4)

називається задачею Коші. Умови (9.4) називаються початковими умовами, числа  називаються початковими значеннями.

Означення. Точки, в яких порушується єдиність розв’язків ДР, називаються особливими. Розв’язок ДР називається особливим, коли всі точки на розв’язку особливі.

Якщо в диференціальному рівнянні першого порядку

 

то точка  є особливою точкою ДР.

Наведемо приклади поводження інтегральних кривих в околі особливої точки (рис. 9.1).

 

 Рис. 9.1

 

Приклад. Розглянемо ДР  яка має особливу (0; 0). Розв’яжемо ДР  

Інтегральними кривими є гіперболи. Особлива точка (0; 0) є сідлом.

Розглянемо ДР .

Означення. Функція , що містить довільну сталу С, називається загальним розв’язком ДР, якщо функція  є розв’язком ДР при довільному значенні сталої С, тобто  і за рахунок вибору довільної сталої С можна розв’язати задачу Коші з довільними початковими умовами, тобто рівняння  розв’язується відносно С. Розв’язок  при фіксованому значенні сталої С називається частинним розв’язком.

Приклад. ДР  має загальний розв’язок

l Справді, маємо тотожність:

 

При довільних початкових значеннях ,  знаходимо значення довільної сталої С

 

Якщо довільна стала виражена через початкові дані, то загаль­ний розв’язок називається розв’язком у формі Коші.

Приклад. ДР  має розв’язок  у формі Коші.

Означення. Задача знаходження розв’язків ДР називається інтегруванням ДР. Самий розв’язок називається також інтегралом ДР. Назва пояснюється розв’язуванням найпростішого ДР

Загальний розв’язок може бути знайдений у неявній формі:  Тоді ця рівність називається інтегралом ДР. Функція  також називається інтегралом ДР. Якщо загальний розв’язок ДР подається неявним рівнянням  то рівняння називається загальним інтегралом ДР.

Розв’яжемо диференціальне рівняння

 

Рівняння можна записати у вигляді

 

Звідси знаходимо інтеграл ДР

Розглянемо детальніше питання про особливі розв’язки. Точки, в яких існує не єдиний розв’язок ДР  можуть бути точками розриву функцій  а також точками, в яких загальний інтеграл ДР  не розв’язуваний відносно с, тобто  Криві, в точках яких не виконані умови єдиності рішень, називають дискримінантними кривими.

Приклад. Розв’яжемо ДР

l Його можна записати у вигляді

 

ДР має загальний інтеграл  і загальний розв’язок

Шукаємо особливі розв’язки з умови

Знаходимо

Дискримінантна крива y = 0 є розв’язком ДР, але не є частинним розв’язком. Цей особливий розв’язок можна було знайти з умови, що частина похідна

  має розрив при y = 0. Інтегральні криві наведено на рис. 9.2.

Рис. 9.2

Не завжди дискримінантна крива визначає рішення ДР.

Приклад. ДР  має загальний розв’язок  і загальний інтеграл

З умови  знаходимо дискримінантну криву
х = 0, яка не визначає ніякого рішення ДР. Інтегральні криві ДР зображено на рис. 9.3.

 

 Рис. 9.3

Тема 10. Числові ряди. Поняття збіжності ряду.

Необхідна умова збіжності

 

План

  1. 1.      Основні поняття. Деякі властивості збіжних рядів.
  2. 2.      Достатні ознаки збіжності для рядів з додатними членами.
  3. 3.      Рекомендації щодо використання ознак збіжності рядів з додатними членами.
  4. 4.      Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжність знакозмінних рядів.

 

1. Основні поняття.  Деякі властивості збіжних рядів

Означення. Нехай  — деяка нескінченна послідовність чисел. Побудований із цих чисел за допомогою знака «+» символ

                                                     (10.1)

називається нескінченним рядом (чи просто рядом), а самі числа  — членами ряду; n-ий член un — називається загальним членом ряду.

Побудуємо частинні суми ряду:

                                                            (10.2)

Частинні суми ряду (9.2) утворюють числову послідовність:  Надалі основним буде питання про збіжність послідовності частинних сум ряду. Таким чином, поняття ряду вводиться для побудови числових послідовностей спеціального виду — частинних сум ряду. Такі послідовності широко використовуються в математичному аналізі, наприклад, відоме число е можна подати таким рядом .

Означення. Числовий ряд називається збіжним, якщо існує границя послідовності частинних сум ряду

                                                                                   (10.3)

При цьому величина  називається сумою ряду, а число

—                                   (10.4)

залишком ряду. Якщо границя Sn не існує (нескінченна), то ряд називається розбіжним.

Приклад. Нехай ряд задано першими трьома членами  . Знайти загальний член ряду і дослідити ряд на збіжність.

Загальний член ряду, як правило, знаходять методом перебирання варіантів, виходячи із аналізу заданих перших членів ряду з наступною перевіркою його правильності.

У даному прикладі чисельник кожного члена дорівнює одиниці, а знаменник є добутком трьох послідовних натуральних чисел. Вважатимемо, що . Тоді, беручи n послідовно таким, що дорівнює 1, 2, 3, ..., дістаємо члени ряду ; , чим упевнюємося, що загальний член ряду  побудований правильно.

За допомогою методу невизначених коефіцієнтів un можна розкласти на такі дроби:

.

Часткова сума ряду Sn запишеться тоді так:

 

. Отже, ряд збігається, його сума .

У цьому прикладі збіжність ряду було встановлено безпосередньо за означенням, тобто обчислено . Для переважної більшості рядів обчислити  неможливо, тому далі буде наведено такі методи й ознаки, за допомогою яких можна встановити збіжність ряду, не обчислюючи .

Теорема 1. Якщо збігається ряд, то збігається його залишок; і навпаки, із збіжності залишку випливає збіжність ряду.

Наслідок 1.Із розбіжності ряду випливає розбіжність його залишку, і навпаки.

Наслідок 2.Якщо відкинути скінченну кількість перших членів ряду або додати до нього кілька нових членів, то це не вплине на його збіжність.

Теорема 2. Якщо члени збіжного ряду (9.1) помножити на сталий множник с, то його збіжність не порушиться, а сума (9.3) помножиться на це число с:

.

Теорема 3. Збіжні ряди  і  можна почленно додавати або віднімати, при цьому ряд   також збігається, а його сума буде .

Теорема 4. Послідовність частинних сум збіжного ряду обмежена. Це твердження випливає зі збіжності послідовності частинних сум ряду.

Теорема 5. Якщо ряд збігається, то границя його загального члена прямує до 0, тобто: .

Наслідок.Якщо , тобто необхідна умова збіжності ряду не виконується, то ряд розбігається.

Приклад: Перевірити виконання необхідної умови збіжності для ряду . Загальний член ряду . Розглянемо . Необхідна умова збіжності ряду не виконується. Ряд розбігається.

2. Достатні ознаки збіжності для рядів з додатними членами

Розглянемо ряд  з додатними членами  . Частинні суми ряду (9.2) утворюють при цьому монотонно зростаючу послідовність .

Теорема 6 (основна). Для того щоб ряд з додатними членами збігався, необхідно і достатньо, щоб усі його частинні суми були обмеженими.

Наслідок.Для того щоб ряд з додатними членами розбігався, необхідно і достатньо, щоб послідовність його частинних сум була необмеженою.

Теорема. 7 (ознака порівняння рядів). Якщо для рядів з додатними членами:

                                                       (10.6)

                                                        (10.7)

виконується умова  то:

а) із збіжності ряду (10.7) випливає збіжність ряду (10.6);

б) із розбіжності ряду (10.6) випливає розбіжність ряду (10.7).

Означення. Якщо для рядів 10.6), (10.7) виконується умова , то ряд (10.7) називається мажорантним відносно ряду (10.6), а ряд (10.6) — мінорантним відносно ряду (10.7).

Приклад. Дослідити на збіжність ряд .

l Загальний член ряду . Зауважимо, що

.

Ряд порівняння  збігається як ряд геометричної прогресії із . Значить, за ознакою порівняння (теорема 10.7) ряд  — збігається.

Теорема 8 (ознака порівняння в граничній формі). Якщо для рядів з додатними членами (10.6), (10.7) існує границя , то ряди (10.6) і (10.7) збігаються або розбігаються разом.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд .

l Загальний член ряду  являє собою алгебраїчний вираз. Для того щоб цілеспрямовано вибрати ряд порівняння, побудуємо величину, еквівалентну  при  . Вибираємо ряд порівняння  — гармонічний ряд, він є розбіжним. Обчислюємо

 

За ознакою порівняння (теорема 9.8) буде розбіжним і ряд

.

Теорема 9 (ознака Даламбера). Якщо для ряду  з додатними членами  існує границя  тоді:

при  ряд збігається;

при  ряд розбігається;

при  питання про збіжність ряду ознака не вирішує.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд .

l Загальний член ряду . Побудуємо   і розглянемо . За ознакою Даламбера ряд  збігається.

Теорема 10 (ознака Коші (радикальна)). Якщо для ряду  з додатними членами  існує границя , тоді:

при  ряд збігається;

при  ряд розбігається;

при  питання про збіжність ряду ознака не вирішує.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд

l Загальний член ряду .

.

За ознакою Коші (теорема 9.10) ряд збігається.

Теорема 11 (ознака Коші (інтегральна)). Якщо функція  неперервна, додатна і монотонно спадає при  то ряд  і невластивий інтеграл  збігаються або розбігаються разом.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд Діріхле (узагальнений гармонічний ряд)

                                                 (10.8)

l Загальний член ряду . Побудуємо функцію :

.

Збіжність інтегралу Діріхле  встановлено в 7.3.1, таким чином, за теоремою 10.11

.

У частинному випадку при р=1 маємо гармонічний ряд   який, як тепер встановлено, буде розбіжним.

3. Рекомендації щодо використання ознак збіжності рядів з додатними членами

1. Ознака Даламбера, як правило, дає результати тоді, коли загальний член ряду є відношенням алгебраїчного і трансцендентного виразів або відношенням трансцендентних виразів.

Якщо загальний член ряду — алгебраїчний вираз, то ознака Даламбера питання про збіжність не вирішує.

2. Радикальна ознака Коші зручна в тому випадку, коли загальний член ряду містить степенево-показниковий вираз.

3. Інтегральна ознака Коші використовується тоді, коли функція загального члена ряду  легко інтегрується.

4. Ознака порівняння рядів може бути використана для рядів з будь-яким загальним членом. При дослідженні ряду за допомогою ознаки порівняння треба вибрати ряд порівняння, збіжність чи розбіжність якого відома. Рядами порівняння зручно вибирати ряд геометричної прогресії (9.6) або ряд Діріхле (10.8).

5. Якщо загальний член ряду — алгебраїчний вираз, тоді для дослідження збіжності ряду зручно використовувати ознаку порівняння рядів у граничній формі (теорема 3), як це було показано на прикладі.

6. При дослідженні збіжності рядів рекомендується така послідовність дій: 1) встановити тип ряду (знакододатний чи знакозмінний); 2) перевірити виконання необхідної умови збіжності;
3) використати одну із достатніх ознак збіжності.

Приклад. Дослідити збіжність ряду .

1)  ряд знакододатний.

2)   
необхідна умова збіжності виконується (ряд може бути як збіжним, так і розбіжним).

3)  Використаємо достатню ознаку збіжності Даламбера. Побудуємо  ряд  за ознакою Даламбера збігається.

4.Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжність знакозмінних рядів

Означення. Ряд називається знакозмінним, якщо він містить нескінченне число як додатних, так і від’ємних членів.

Теорема 12 (Коші). Якщо збігається ряд із абсолютних величин членів знакозмінного ряду, то збігається і знакозмінний ряд, тобто

Означення. Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд із абсолютних величин членів знакозмінного ряду.

Означення.Знакозмінний ряд називається умовно збіжним, якщо цей ряд збігається, а ряд із абсолютних величин його членів розбігається.

Зауваження.Якщо знакозмінний ряд збігається абсолютно, то його збіжність зумовлена достатнім спаданням за абсолютною величиною його членів.

Зауваження.Якщо знакозмінний ряд збігається умовно, то його збіжність зумовлена не тільки спаданням за абсолютною величиною його членів, але і взаємною компенсацією додатних і від’ємних членів ряду.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд .

l Загальний член ряду  залежно від n може бути як додатним, так і від’ємним. Отже, ряд  — знакозмінний. Побудуємо ряд із абсолютних величин членів даного: . Цей ряд буде знакододатним , так що для дослідження його на збіжність можна використати ознаки збіжності знакододатних рядів. Скористаємось ознакою порівняння рядів:  — ряд порівняння, він збігається, як ряд Діріхле, з p = 2 > 1. Отже, за ознакою порівняння (теорема 10.7) ряд  збігається, а це означає, що за теоремою Коші збігається і ряд , причому збігається абсолютно.

5.Знакопочергові ряди. Ознака Лейбніца

Означення. Ряд, кожний член якого відрізняється знаком від попереднього, називається знакопочерговим. Цей ряд має вигляд:

                        (10.9)

Загальний член ряду (10.9)  де .

Теорема 13 (Лейбніца). Якщо члени знакопочергового ряду спадають за абсолютною величиною і границя абсолютної величини загального члена ряду дорівнює нулю, то ряд збігається. Коротко цю теорему можна записати так:

Наслідок 1.Знак суми збіжного знакопочергового ряду такий само, як і знак першого члена ряду (на рис. 10.1 ).

Геометрична інтерпретація

 

Рис. 10.1

Наслідок 2. Якщо знакопочерговий ряд збігається, то його сума за абсолютною величиною не перевищує першого члена ряду, тобто  (на рис. 9.1) 0< <a1).

Наслідок 3.Якщо при обчисленні суми збіжного знакопочергового ряду обмежитись тільки першими n членами, а всі інші відкинути, то похибка за абсолютною величиною не перевищить першого із відкинутих членів, тобто .

Наслідок 4.Якщо для ряду не виконується умова теореми Лейбніца , то ряд розбігається (не виконується необхідна умова збіжності).

Приклад. Дослідити збіжність ряду Лейбніца

 

Загальний член ряду  почергово змінює знак, отже, ряд Лейбніца — знакопочерговий. Обидві умови теореми Лейбніца для цього ряду виконуються:

1)

2) .

Таким чином, ряд Лейбніца буде збіжним, але збіжність умовна, бо ряд із абсолютних величин:  — гармонічний ряд, що розбігається.

 



 

 
Новини коледжу:
День вишиванки 2018 День вишиванки 2018
На базі коледжу проведено семінар-нараду Івано-Франківського обласного центру зайнятості На базі коледжу проведено семінар-нараду Івано-Франківського обласного центру зайнятості
Виставка декоративно-ужиткового мистецтва до Дня матері Виставка декоративно-ужиткового мистецтва до Дня матері
Участь у міському віче Участь у міському віче
Студентська конференція з Охорони праці Студентська конференція з Охорони праці
Проведено навчання студентів та учнів працівниками державного пожежо-рятувального поста м. Бурштин Проведено навчання студентів та учнів працівниками державного пожежо-рятувального поста м. Бурштин
Участь у засіданні Президії Національної академії педагогічних наук України Участь у засіданні Президії Національної академії педагогічних наук України
Відкрите заняття з Товарознавства квітів Відкрите заняття з Товарознавства квітів
Проведено конференцію Проведено конференцію "Здорове харчування - здорова нація"
Пройшов тиждень спецпредметів торговельно-економічного напряму Пройшов тиждень спецпредметів торговельно-економічного напряму
 
Бурштинський торгівельно-економічний коледж
Київського національного торговельно-економічногоо університету